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LeetCode 4. 寻找两个有序数组的中位数

时间:2021-01-01 21:49 作者:QQ地带 我要评论

题目描述
给定两个大小为 m 和 n 的有序数组 nums1 和 nums2。
 
请你找出这两个有序数组的中位数,并且要求算法的时间复杂度为 O(log(m + n))。
 
你可以假设 nums1 和 nums2 不会同时为空。
 
示例 1:
 
nums1 = [1, 3]
nums2 = [2]
 
则中位数是 2.0
 
示例 2:
 
nums1 = [1, 2]
nums2 = [3, 4]
 
则中位数是 (2 + 3)/2 = 2.5
 
分析解答
题目中明确要求时间复杂度为O(log(m + n)),这其实也提醒我们可以用类似二分法的操作来解决这个问题。直接求解中位数似乎有点无从下手,不妨先举些实例分析看看,通过对具体实例的细致分析可以帮助我们更好地理解目标。如果两个数组的总长度是9,那么中位数就是两个数组中第5小的数,如果长度为10,那么中位数就是两个数组中第5小的数和第6小的数的平均。因此,我们不妨把问题转换成求两个数组中第k小的数,如果这个问题解决了,那么求中位数的问题也就解决了,而且两者的时间复杂度是一致的,因为最多只需要求两次第k小的数。
 
由于两个数组都是有序的,我们可以借用二分法的思路来求解第k小的数,关键点在于如何不断地减小的规模。我们可以从两个数组分别选出一个“代表”,比如第k/2个数,然后比较选出的两个数的大小,根据比较的结果就可以筛掉其中某个数组在k/2前面的数,从而将问题转化为一个规模更小的子问题。按照这种思路实现的解决方案如下:
 
class Solution(object):
    def findMedianSortedArrays(self, nums1, nums2):
        """
        :type nums1: List[int]
        :type nums2: List[int]
        :rtype: float
        """
        m = len(nums1)
        n = len(nums2)
        total = m + n
        if total % 2:
            return self.findKth(nums1, m, nums2, n, total // 2 + 1)
        else:
            return (self.findKth(nums1, m, nums2, n, total // 2)
                    + self.findKth(nums1, m, nums2, n, total // 2 + 1)) / 2
 
    def findKth(self, nums1, m, nums2, n, k):
        # 保证A数组的大小不大于B数组 简化后面的逻辑判断
        if m > n:
            return self.findKth(nums2, n, nums1, m, k)
 
        # 数组A为空 直接返回数组B第k小的数
        if m == 0:
            return nums2[k - 1]
 
        # k等于1时终止递归 防止数组A下标越界
        if k == 1:
            return min(nums1[0], nums2[0])
 
        pa = min(k // 2, m)  # 取min是防止访问数组A时下标越界
        pb = k - pa
 
        if nums1[pa - 1] < nums2[pb - 1]:
            return self.findKth(nums1[pa:], m - pa, nums2, n, k - pa)
        elif nums1[pa - 1] > nums2[pb - 1]:
            return self.findKth(nums1, m, nums2[pb:], n - pb, k - pb)
        else:
            return nums1[pa - 1]
 
其中findKth就是我们上述的用于查找第k小的数的函数。我们可以通过一个具体的例子来理解代码。假设:
 
nums1 = [1, 3, 7]
nums2 = [2, 6, 9, 14]
k = 5
1
2
3
现在我们需要找到nums1和nums2中第5小的数,怎么办呢?我们可以选出nums1中第2小的数3和nums2中第3小的数9作为两个数组的“代表”,由于3 < 9,因此可以确定包括3在内的nums1的前2个数是两个数组中最小的5个数之2,那么我们可以将这些数过滤掉,然后求解在剩余的数组中第3小的数即可。对于其他情况也是同样的方法来判断。
 
代码中有几个小细节值得注意。一是提前判断两个数组的大小,这样我们可以认为数组1长度总是不大于数组2,简化后面的代码。而是k==1的判断,如果不做判断,由于Python中支持负数索引,所以可能导致产生错误的递归。最后,如果两个“代表”的值相等,说明他们俩都是两个数组中第k小的数,可以直接返回。
 
提交代码,测试通过,击败了100%的用户,说明这种类二分的方法性能还是很不错的。

标签: LeetCode
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